artphil a écrit :
ronfyaCHM a écrit :
personne ne trouve l'erreur dans l'autre ? ou je vais devoir donner la solution.... le revoici :
On a l'équation suivante:
x²+x+1=0
d'où
1=-x²-x
mais on a aussi
x(x+1)+1=0
x(x+1)=-1
x(x-x²-x)=-1
-x³=-1
x³=1
x=1
1²+1+1=0
3=0
Bof, trop facile.
L'équation x²+x+1=0 n'a pas de solution dans R (le corps des réels)
Il suffit de calculer Delta = 1²-4*1*1 <0 donc pas de solution
Donc écrire 1=-x²-x est impossible dans R.
Pour résoudre ton équation il faut passer dans C (complexes)
ce que tu dis est juste... mais cela ne répond pas à ma question qui était... "où est l'erreur ?" ... donc voici la réponse :
rien n'est précisé à propos de l'ensemble de travail, on suppose donc le cas le plus général, on est dans C... mais même dans ce cas, il ne faut pas faire n'importe quoi, en effet :
On a l'équation suivante:
x²+x+1=0 --> dont les solutions sont -1/2+j*sqrt(3)/2 et -1/2-j*sqrt(3)/2
d'où
1=-x²-x (*)
mais on a aussi
x(x+1)+1=0
x(x+1)=-1 --> cette expression est une équation de degré 2
x(x-x²-x)=-1 --> ici en remplaçant 1 par -x²-x comme le suggère (*) on introduit une solution supplémentaire puisque l'équation obtenue est alors du 3è degré !! C'est la 1ère erreur...
-x³=-1
x³=1
x=1 --> en écrivant cette ligen à partir de la précédente on oublie qu'on travaille dans C et non dans R puisque X³=1 admet 3 solutions dans C, les 2 solutions -1/2+j*sqrt(3)/2 et -1/2-j*sqrt(3)/2 de l'équation de départ x²+x+1=0 mais aussi x=1 qui est ici la seule solution gardée !! 2ème erreur !
1²+1+1=0
3=0
Donc les erreurs faites ont été de rajouter 1 solution aux 2 solutions de l'équation de départ puis de garder seulement la solution ajoutée en niant les 2 cherchées !!
artphil a écrit :
Avec le nombre imaginaire i (i²=-1) on peut tout faire.
On peut même démontrer que 1 = 0 si on veut, mais bon, en partant d'une impossibilité dans le monde des réels.
Démonstration:
x²+1=0
donc -1 = x²
1 + 0 = 0, on remplace le 0 à gauche par x² + 1
1 + x² +1 = 0, on remplace le x² par -1
1 - 1 + 1 = 0
d'où 1 = 0 CQFD
ici pour que la fin soit plus claire tu calcules
1 + 0 = ?
on a donc
1 = 1 + 0 = 1 + (x² + 1) = 1 + (-1 + 1) = 0 ce qui est faux bien sur...
l'erreur est du meme type que le problème précédent... on ne peut pas rajouter ou supprimer des solutions à une équation et on ne peut donc pas écrire
1 + 0 = 1 + (x² + 1) car on ajoute 2 solutions
ni écrire
1 + (x² + 1) = 1 + (-1 + 1) car on supprime 2 solutions
il faut donc remarquer que 1 + 0 est un calcul et non une équation donc on ne peut pas ajouter de solutions
